EQUIVALENCIA LÓGICA

Concepto

En lógica, las declaraciones p y q son lógicamente equivalentes si tienen el mismo contenido lógico. Este es un concepto semántico, dos afirmaciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en todos los modelos. La equivalencia lógica de p y q algunas veces se expresa como p≡q, Epq, o p⇔q. Sin embargo, estos símbolos también se usan para la equivalencia material; su apropiada interpretación depende del contexto. La equivalencia lógica es diferente a la equivalencia material, aunque ambos conceptos estén estrechamente relacionados.

Definición

Dos fórmulas A y B son lógicamente equivalentes cuando para toda interpretación v sus valores de verdad son iguales (v(A) = v(B)). Como se conocen los valores de verdad para todos los átomos de la fórmula, es posible verificar las interpretaciones de v para cada fórmula.

Se utilizará un operador nuevo para denotar la equivalencia lógica, el operador será y se lee: “es lógicamente equivalente a”. En ningún caso se considera un operador booleano.
Por ejemplo, si se tienen las fórmulas A: (¬p v ¬q) y B: (¬q v ¬p) Se va a verifica si A⇔ B. Para ello se puede construir la tabla de verdad para: (¬p v ¬q) y para (¬q v ¬p).

Inicialmente se tiene la tabla de verdad para: (¬p v ¬q)

También se tiene la tabla de verdad para:

Para cada una de las interpretaciones se observa que ambas fórmulas son iguales en sus líneas y sus tablas de verdad son idénticas, por lo tanto, son lógicamente equivalentes.

Por ejemplo, si se tienen las fórmulas: fórmulas A: (¬p ^ q) y B: (q ^ p), se desea verificar si son lógicamente equivalentes.

Las fórmulas A y B no son lógicamente equivalentes, como se puede observar la primera línea de interpretación es diferente para cada una de las fórmulas.

Equivalencia lógica y Bicondicionales

Dos fórmulas A tautología. y B son lógicamente equivalentes sí, y solo si el bicondicional A ↔ B es una Entonces si A⇔B, siempre tienen los mismos valores de verdad, es decir A y B son verdaderos o falsos, y por ello el valor de verdad de A ↔ B sea siempre verdadero, es decir es una tautología. Por ejemplo, si se tienen las fórmulas A: ¬ (p v q) y B: (¬p ^ ¬q). Se va a verificar que si A ⇔ B. Para ello se verifica si A ↔ B es una Tautología.